“理發師的故事？那是什麼？”穎兒眨著眼楮問道。
“一個能形象表述這個悖論的故事。”齊點說道︰“原本在我的計劃中，你應該是從那個故事中提取出數學信息，然後發現這個悖論。”
“現在你已經提前發現了，那就沒必要講這個故事了。你想听嗎？”
“嗯……”穎兒猶豫了一下，說道︰“不用了。”
她不知道自己明天還能不能出來，相比于听故事，現在她更希望多了解一點基礎知識。
比如樸素集合論該怎麼加上限制？
听到穎兒的回答，齊點眼中閃過一抹驚訝。
這個年紀的孩子正是貪玩的時候，老師們講課都是費盡心思吸引注意力，這個小妹妹不听有趣的故事，而是選擇了枯燥無味的數學。
這天生就是研究數學的料啊。
想到這里，他走到白板旁邊，身體微側，進入講課狀態。
“為了解決樸素集合論的這個問題，我們要把集合論公理化，用公理對集合加以限制。”
“所以我們接下來講……”
齊點在白板上寫下幾個大字
“zfc公理系統。”
“這部分內容可能有點難，你需要集中注意力，有什麼不理解的地方可以舉手提問。”
穎兒用力地點了點頭，坐得非常端正。
“zfc公理系統由zf公理系統和選擇系統組成。下面我們先來講zf公理系統的八條公理。”
“首先是外延公理，一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有同樣的元素，則它們是相等的。”
“……”
齊點講的很簡潔，沒有做過多的解釋，也沒有去舉一些形象的例子。
因為穎兒可以理解。
他講的認真，還簡單講了一下皮亞諾公理系統，穎兒听得入迷。
所謂公理，是指依據人類理性的不證自明的基本事實，不需要再加證明的基本命題。
從這些公理出發，穎兒第一次真正感受到了數學的嚴謹性。
正是這種嚴謹性令她著迷。
不知道什麼時候，楊歲和吳垠一起走了進來。
見到這兩人，齊點迅速講完這一部分內容，暫停講課，恭敬地跟兩人打招呼。
“吳部長。”
“榮譽委員。”
穎兒和柳綿也起身打招呼。
楊歲雙手背後，感覺自己像是那種查課的教導主任。
他踱步到白板面前，還沒看就先問齊點︰“你這是在講什麼啊？”
齊點回答道︰“數學上集合論的內容。”
楊歲眼楮一亮。
集合？
這我熟啊！
高中數學第一章就是集合。
放卷子了就是送分題。
他看向白板，準備用自己有限的學識來指導一下。
當看清白板上的內容後，他懵了一下。
嗯……
這次上面符號他都認識。
那些式子的意思他也能看懂。
但那一排文字怎麼那麼拗口啊？
“外延定理，空集存在定理……不就是相等和空集嗎？整的還挺高大上的。”
“無序對公理……給定任何集合x和任何集合y，有著一個集合a使得，給定任何集合z，z是a的成員，當且僅當z等于x或者z等于y。”
“不是，這是什麼東西？這語法都有問題吧？”
齊點趕忙解釋道︰“其實就是對于任意兩個集合 x 和 y ，存在一個集合 a ，使得 a 的元素恰好是 x 和 y 。”
楊歲听了他的解釋，又看向白板上的公式描述才理解。
理解後就感覺有種說廢話的感覺。
但他又看見了後面這個無序對公理的一般化……
好長一串……
下面那些公理一個比一個拗口，有些甚至他都快看不懂了。
“這真是集合論嗎？我學的不是這樣啊……”
我記得集合就是很簡單的東西啊。
他又看向穎兒。
“穎兒，你能听懂嗎？”
穎兒點了點頭。
現在講的都是公理，屬于那種只要理解的意思，就覺得很顯然的內容，連證明都不需要。
楊歲只覺得這些東西繞來繞去的，他腦子里的神經細胞都快纏住了。
他沒再糾結集合的問題，又對齊點問道︰“你直接給她開高中的課了？”
“高中？”齊點愣了一下，隨即說道︰“沒有啊，吳部長說因材施教，我沒有按正常的課本走，打算先給這位小天才講一下基礎知識。”
楊歲問道︰“但這集合不是高中數學的第一章嗎？”
齊點說道︰“可集合論是整個現代數學的基礎啊，所以我才從集合論講起。”
楊歲懵了，他又說道︰“听你這意思，你好像有一套教學計劃，能給我講講嗎？”
這句話說出來，好像更像檢查老師的教導主任了。
“當然可以。”齊點將那張a4紙拿了過來，說道︰“時間上有些倉促，計劃制定的不太詳細。”
“沒事沒事，有計劃比沒計劃強一萬倍。”
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楊歲接過那張a4紙，本來他以為就是講函數、數列、向量，幾何這些內容。
但齊點這個教學大綱好像跟他想象不太一樣……
他是先引入一個簡單的概念，然後再講數學知識，但是……
【這是隻果，這是桃子——世間萬物是可分類的！
樸素集合論和羅素悖論。
zfc公理系統。
映射。】
【一，二，三！——學會數數
集合的勢。
皮亞諾公理和自然數。
整數和有理數。】
到這他覺得雖然有點離譜，但還能接受。再往後，他就懵了。
【一加一等于二！——運算帶來新的結構！
群及其性質。
環及其性質。
域及其性質。】
【從過去到未來我一直都在！——連續地描述世界
實數的定義和連續統假設。
序列的極限。
幾個等價的完備性定理。】
……
看這個大綱，楊歲已經不理解後面要講什麼了。
這都什麼跟什麼啊！
不是在說隻果和桃子嗎？怎麼到集合了？
不是在數數嗎？皮亞諾公理是什麼？
一加一等于二我會。群是什麼？環是什麼？域是什麼？
我是誰？
我在哪？
我要干什麼？
楊歲拿著這個教學大綱，嘴唇顫抖了很久才開口問道︰“你管這叫基礎？”
“嗯……這位小朋友對數學的嚴謹性比較在乎，這樣講可以給她打下一個比較堅實的數學基礎。”
齊點沒有直接回答。
他是研究部里為數不多沒有跳過級沒有被競賽保送過，安安穩穩上完小學初中高中十二年，大學才開始起飛。
因為他的家鄉比較偏僻，上高中去了縣城，也沒听說過競賽的事。
所以，他其實知道太歲說的基礎是什麼。
但這個小妹妹天賦太強了，理解能力很強，而且這個小妹妹的思維很發散。
正常課程滿足不了她，她自己都會不自覺的偏離課程。強行把她拽回來的話，那就是在壓制她的成長。
吳部長說過因材施教。
這就是因材施教啊……
吳垠也走過來，看了一眼那張a4紙，同樣是一臉驚訝。
“專攻數學啊……這樣會不會太急于求成了？”
言外之意就是︰你會不會太高估她的天賦了？
齊點看了一眼穎兒，說道︰“我只給了她一個提示，她就自己提出了羅素悖論。”
“給了什麼提示？”
“告訴她存在問題，然後把引導她關注樸素集合論的定義。”
吳垠倒吸一口涼氣。
恐怖如斯！
恐怖如斯啊！
如果是這樣的話，那就不奇怪了。
他本來以為這就是一個普普通通的小天才。但現在來看，這明顯是百年難得一遇的數學天才啊！
按捺住心中的激動，他看向穎兒，溫和地說道︰“這位老師講的內容你都听明白了嗎？”
“听……听明白了。”穎兒還是有點社恐。
接著，吳垠就白板上已經講明了幾個公里提出了一些問題。
他一臉溫和，但提出這些問題並不溫和，一個比一個刁鑽，但又不超綱。
“穎兒，外延公理說兩個集合相等當且僅當它們有相同的元素。現在，假設我們有兩個空集，我叫它們??和??。根據空集存在公理，它們都存在。但??和??是同一個集合嗎？用公理證明你的答案。”
听到這個問題，楊歲第一反應是︰這不很顯然是同一個集合嗎？
陸淵在他腦海中問道︰“那你用公理證明一下啊。”
“證明？這還要證？”
楊歲很不理解
但穎兒已經陷入了思考。
大概一分鐘過後，穎兒很流暢地回答道︰“根據外延公理，兩個集合相等當且僅當它們有相同的元素。對于兩個空集??，??，由于它們都沒有任何元素，所以它們的元素完全相同。”
“因此，根據外延公理，因此?? = ??。”
楊歲︰“這也能證！”
陸淵說道︰“數學是一門嚴謹的學科，不是你說顯然就顯然的。”
“但這個證明很簡單啊。”
“證明確實簡單，但重要的是這個思路。”
听到穎兒的回答，吳垠眼中的欣賞更加濃烈了。
緊接著他又問出了下一個問題。
“你已知道無序對公理……”
“……請用公理解釋，並進一步證明︰對于任意集合，單元素集存在且唯一。”
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